複數表示法
電學中保留$i$作為電流的符號，以$j=\sqrt { -1 } $表示定義：
$${ e }^{ j\theta }=\cos { \theta } +j\sin { \theta } $$
$$\Rightarrow { e }^{ j(\pi /2) }=j,\quad { e }^{ j(-\pi /2) }=-j=\frac { 1 }{ j } $$
[Physics]電磁學筆記-交流電路
定義：
$${ e }^{ j\theta }=\cos { \theta } +j\sin { \theta } $$
$$\Rightarrow { e }^{ j(\pi /2) }=j,\quad { e }^{ j(-\pi /2) }=-j=\frac { 1 }{ j } $$
[Physics]電磁學筆記-直流電路
前言：
最近在讀電磁學的相關內容，就順便把做的筆記打在這裡，有需要的加減參考
正文：
$$\sum { I_{ in } } =\sum { I_{out} } $$
2.在任意封閉回路上各段電位變化之合必等於零(能量守恆的一種形式)
$$\sum _{ closed\quad loop } \Delta { V }=0$$
顧名思義，只包含電阻resistor及電容capacitor的電路
由KIRCHHOFF’S RULES，可得
$$\varepsilon -\frac { q }{ C } -IR=0$$
其中$\frac { q }{ C }$是電容兩端的電位差，$IR$是電阻兩端的電位差
迴路接通之時($t=0$)，電容尚未充電，故有電流最大值：
$$I_{ 0 }=\frac { \varepsilon }{ R } $$
接著電流便會流經電阻幫電容充電，直到充電完成不再有電流，此時電容的電荷將達到最大值：
$$Q=C \varepsilon $$
而進一步分析，可由前述之克西荷夫定律推導。由於電流等於電容中電荷的時變率，即$I=\frac { dq }{ dt } $
$$\frac { dq }{ dt } =\frac { \varepsilon }{ R } -\frac { q }{ RC } $$
整理可得
$$\frac { dq }{ q-C\varepsilon } =-\frac { 1 }{ RC } dt$$
由初始條件$q=0, t=0$，且$R$、$C$、$\varepsilon$為常數，積分得
$$\int _{ 0 }^{ q }{ \frac { dq }{ q-C\varepsilon } } =-\frac { 1 }{ RC } \int _{ 0 }^{ t } dt$$
$$\ln { \frac { q-C\varepsilon }{ -C\varepsilon } } =-\frac { t }{ RC } $$
由上可得
$$q(t)=C\varepsilon (1-e^{ -\frac { t }{ RC } })=Q(1-e^{ -\frac { t }{ RC } })$$
又$I=\frac { dq }{ dt } $
$$I(t)=\frac { \varepsilon }{ R } e^{ -\frac { t }{ RC } }=I_{ 0 }e^{ -\frac { t }{ RC } }$$
由上二式可得知，充飽所需的時間$t\rightarrow \infty $，而式中的$RC$則稱為時間常數$\tau $(因次為時間)
最近在讀電磁學的相關內容，就順便把做的筆記打在這裡，有需要的加減參考
正文：
KIRCHHOFF’S RULES
1.電路上進入任意節點的電流等於其離開的電流(電荷守恆的一種形式)$$\sum { I_{ in } } =\sum { I_{out} } $$
2.在任意封閉回路上各段電位變化之合必等於零(能量守恆的一種形式)
$$\sum _{ closed\quad loop } \Delta { V }=0$$
RC CIRCUITS
顧名思義，只包含電阻resistor及電容capacitor的電路
由KIRCHHOFF’S RULES，可得
$$\varepsilon -\frac { q }{ C } -IR=0$$
其中$\frac { q }{ C }$是電容兩端的電位差，$IR$是電阻兩端的電位差
迴路接通之時($t=0$)，電容尚未充電，故有電流最大值：
$$I_{ 0 }=\frac { \varepsilon }{ R } $$
接著電流便會流經電阻幫電容充電，直到充電完成不再有電流，此時電容的電荷將達到最大值：
$$Q=C \varepsilon $$
而進一步分析，可由前述之克西荷夫定律推導。由於電流等於電容中電荷的時變率，即$I=\frac { dq }{ dt } $
$$\frac { dq }{ dt } =\frac { \varepsilon }{ R } -\frac { q }{ RC } $$
整理可得
$$\frac { dq }{ q-C\varepsilon } =-\frac { 1 }{ RC } dt$$
由初始條件$q=0, t=0$，且$R$、$C$、$\varepsilon$為常數，積分得
$$\int _{ 0 }^{ q }{ \frac { dq }{ q-C\varepsilon } } =-\frac { 1 }{ RC } \int _{ 0 }^{ t } dt$$
$$\ln { \frac { q-C\varepsilon }{ -C\varepsilon } } =-\frac { t }{ RC } $$
由上可得
$$q(t)=C\varepsilon (1-e^{ -\frac { t }{ RC } })=Q(1-e^{ -\frac { t }{ RC } })$$
又$I=\frac { dq }{ dt } $
$$I(t)=\frac { \varepsilon }{ R } e^{ -\frac { t }{ RC } }=I_{ 0 }e^{ -\frac { t }{ RC } }$$
由上二式可得知，充飽所需的時間$t\rightarrow \infty $，而式中的$RC$則稱為時間常數$\tau $(因次為時間)
[Physics]多質點系統動力學
今天來跟各位談談質點系統好了
基於和上次 有部分是相同的，一開始便放一些上次的東西
另外，肥某，某閔，像小弟我反映說看不懂積分符號，其實寫那個只是想讓對物理有興趣的人看的，把握關鍵性的觀念比較重要
這次先發觀念，下次在大概談些解題技巧，如果大家有不懂的問題，可以再討論區提出，小弟儘可能的幫大家解決。
對於多個質點來說，我們可以以類似力矩的手法求出質心的位置，下面先假設有n個質點，第n個質點的質量為Mn，具原點的距離為Xn。則質心位置可有以下的表示法。一般來說原點可以任意取，方便計算即可。
上面是分布在一維空間的情況，我們可以用相同的手法推展到三維空間，甚至可以用向量來定義質心。此外一般的固體可以將其質量是為連續分布，而質點就是微小的質量素dm，累加起來便形成了以積分定義的方式。
而其中重要的觀念是下面這個式子，M是總質量，rc是質心位置，及各質點的質量與位置的乘積和等於總質量乘以質心位置。至於要如何應用來解題，就看r的向量要怎取，可以用直角坐標，或是單純就一個方向，如水平方向。(補充一點，質心位移也可以用這樣的表示法，將r都換成各自的位移即可)
現在如果將上式，對時間微分的話，位置對時間微分叫速度，則質量與速度之乘積，就是動量，因此變成下式。這便是所謂的動量守恆，質心動量等於質點系統的總動量。
補充一點，如果將各自的速度，用向量分解的方式，寫成質心速度加質點對質心的相對速度，則可以得到下面的式子。
如果比較4、5兩式，不難發現
這告訴我們，質點系統中，各質點對質心的動量和為零，也就是"內動量"等於零。
因此，在解題時，有時將原點取在質心，可以大幅簡化問題。
再來就像推導4式的方法，如果我們將3式對時間做兩次微分，可得到下式，這個式子的意義在於：質心的運動方式就好像我們將各質點所受的力全部搬到質心上。
值得注意的是，上式寫的是受力，那如果各質點也有交互作用力呢？一般而言，各質點的交互作用力稱做"內力"，根據牛頓第三運動定律，可得到內力之合會等於零(詳細推導過程這裡就不列出)，因此：質心的運動方式就好像我們將各質點所受的外力全部搬到質心上，善用此一技巧亦可，簡化問題。
基於和上次 有部分是相同的，一開始便放一些上次的東西
另外，肥某，某閔，像小弟我反映說看不懂積分符號，其實寫那個只是想讓對物理有興趣的人看的，把握關鍵性的觀念比較重要
這次先發觀念，下次在大概談些解題技巧，如果大家有不懂的問題，可以再討論區提出，小弟儘可能的幫大家解決。
對於多個質點來說，我們可以以類似力矩的手法求出質心的位置，下面先假設有n個質點，第n個質點的質量為Mn，具原點的距離為Xn。則質心位置可有以下的表示法。一般來說原點可以任意取，方便計算即可。
上面是分布在一維空間的情況，我們可以用相同的手法推展到三維空間，甚至可以用向量來定義質心。此外一般的固體可以將其質量是為連續分布，而質點就是微小的質量素dm，累加起來便形成了以積分定義的方式。
現在如果將上式，對時間微分的話，位置對時間微分叫速度，則質量與速度之乘積，就是動量，因此變成下式。這便是所謂的動量守恆，質心動量等於質點系統的總動量。
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5如果比較4、5兩式，不難發現
這告訴我們，質點系統中，各質點對質心的動量和為零，也就是"內動量"等於零。
6因此，在解題時，有時將原點取在質心，可以大幅簡化問題。
再來就像推導4式的方法，如果我們將3式對時間做兩次微分，可得到下式，這個式子的意義在於：質心的運動方式就好像我們將各質點所受的力全部搬到質心上。
值得注意的是，上式寫的是受力，那如果各質點也有交互作用力呢？一般而言，各質點的交互作用力稱做"內力"，根據牛頓第三運動定律，可得到內力之合會等於零(詳細推導過程這裡就不列出)，因此：質心的運動方式就好像我們將各質點所受的外力全部搬到質心上，善用此一技巧亦可，簡化問題。
7[Physics]COM, Center of mass, not computer
今天來跟各位談談質心，以及質點系統
質心，在英文中叫做center of mass，在本篇中簡寫作com
一般來說，如果是質量均勻分布的物體，我們可以說該物體的幾何中心便是質心的所在，因此在數學中幾何圖形的重心對平板物體就是所謂的質心，下面放了幾種尋找重心的方式，大家可以參考看看，其中梯形的重心是在兩三角形重心連線和兩底中點連線的交點。
再補充一個Pappus定理，這本來是拿來求體積用的定理，但反過來用的話我們可以由此訂裡得到重心。這裡講的是物哩，而不是要細究談他的數學，因此間單介紹一下。再下圖中，上面是原本用來求體積的做法，下面則是反過來利用它求出重心位置。
對於多個質點來說，我們可以以類似力矩的手法求出質心的位置，下面先假設有n個質點，第n個質點的質量為Mn，具圓點的距離為Xn。則質心位置可有以下的表示法。一般來說原點可以任意取，方便計算即可。
[Physics]其實斜拋不一定要這樣解-向量的應用
這是小編以前做過的一題，今天講的主題，跟這題有關，大家可以再開始讀本篇文章前先試試看。
摁.....答案是 2-根號3 ，不知道你算對了沒
如果你是用飛行鉛直方向的位移比上水平方向的位移等於斜面的tan質，這個辦法去做的話...........恭喜你，數字應該會帶有非常多的根號，這時候就需要有堅強的計算能力，硬爆出答案來(好啦，我知道你數學很好，是小編太懶了^^)
至於小編是如何解的，就先賣個關子......(被巴
各位應該都學過等加速度的3個公式(V=V0+at...)，但各位知不知道裡面哪些物理量是向量，在這裡幫大家茶好維基百科中對向量的說明......(被巴
"向量，指線性空間中需要大小和方向才能完整表示的物理量，通常繪畫成箭號，因以為名。位移、速度、加速度、力、力矩、動量、衝量等，都是向量，有別於純量。向量也常被稱為矢量。"~wiki
總而言之，在等加速度公式中， 位移、速度、加速度式向量，而時間則是純量。因此我們可將公式做以下的表示:
V平方的那個我就不寫出來了，那是因為向量平方後就變純量(自己對自己內積)
也因此我們在解平面運動時，有別於一般分解成X、Y方向的做法，我們可以直接在空間中畫出向量，再透過幾何的做法求出答案。就如下圖所示
V0t必與V0同向，S必與g同向。因為時間t是純量，且大於0
在裡用向量相加的三角型法，在配上角度關係，即可列出方程式
也因此看到這裡，你就知道怎麼做那一題了吧 ，下面，小編把解答貼上，雖然數學式寫得有點簡略，但相信思考一下，你就知道是怎麼推的
有問題或有想法的歡迎來討論區發言
http://groups.google.com.tw/group/chsh20/browse_thread/thread/080b3e58728d94bd?hl=zh-TW#
摁.....答案是 2-根號3 ，不知道你算對了沒
如果你是用飛行鉛直方向的位移比上水平方向的位移等於斜面的tan質，這個辦法去做的話...........恭喜你，數字應該會帶有非常多的根號，這時候就需要有堅強的計算能力，硬爆出答案來(好啦，我知道你數學很好，是小編太懶了^^)
至於小編是如何解的，就先賣個關子......(被巴
各位應該都學過等加速度的3個公式(V=V0+at...)，但各位知不知道裡面哪些物理量是向量，在這裡幫大家茶好維基百科中對向量的說明......(被巴
"向量，指線性空間中需要大小和方向才能完整表示的物理量，通常繪畫成箭號，因以為名。位移、速度、加速度、力、力矩、動量、衝量等，都是向量，有別於純量。向量也常被稱為矢量。"~wiki
總而言之，在等加速度公式中， 位移、速度、加速度式向量，而時間則是純量。因此我們可將公式做以下的表示:
V平方的那個我就不寫出來了，那是因為向量平方後就變純量(自己對自己內積)
也因此我們在解平面運動時，有別於一般分解成X、Y方向的做法，我們可以直接在空間中畫出向量，再透過幾何的做法求出答案。就如下圖所示
V0t必與V0同向，S必與g同向。因為時間t是純量，且大於0
在裡用向量相加的三角型法，在配上角度關係，即可列出方程式
也因此看到這裡，你就知道怎麼做那一題了吧 ，下面，小編把解答貼上，雖然數學式寫得有點簡略，但相信思考一下，你就知道是怎麼推的
有問題或有想法的歡迎來討論區發言
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