[Physics]電磁學筆記-交流電路

複數表示法

電學中保留$i$作為電流的符號，以$j=\sqrt { -1 } $表示
定義：
$${ e }^{ j\theta  }=\cos { \theta  } +j\sin { \theta  } $$
$$\Rightarrow { e }^{ j(\pi /2) }=j,\quad { e }^{ j(-\pi /2) }=-j=\frac { 1 }{ j } $$

感電抗

$$V_{ L }=L\frac { dI }{ dt } =V_{ 0 }e^{ j\omega t }$$
$$I=\int _{ 0 }^{ I }{ dI } =\frac { V_{ 0 } }{ L } \int _{ 0 }^{ t }{ e^{ j\omega t }dt } =\frac { V_{ 0 } }{ Lj\omega  } e^{ j\omega t }=\frac { V_{ 0 } }{ L\omega  } e^{ j(\omega t-\pi /2) }$$
故有感電抗$Z_L$
$$Z_{ L }=\frac { V_{ L } }{ I_{ L } } =\frac { V_{ 0 }e^{ j\omega t } }{ \frac { V_{ 0 } }{ L\omega  } e^{ j(\omega t-\pi /2) } } =j\omega L$$

容電抗

$$V_{ C }=\frac { q }{ C } =V_{ 0 }e^{ j\omega t }$$
$$ I_{ C }=\frac { dq }{ dt } =\frac { d{ CV_{ 0 }e^{ j\omega t } } }{ dt } =j\omega CV_{ 0 }e^{ j\omega t }$$
故有容電抗 $Z_C$
$$Z_{ C }=\frac { V_{ C } }{ I_{ C } } =\frac { V_{ 0 }e^{ j\omega t } }{ \omega CV_{ 0 }e^{ j(\omega t+\pi /2) } } =\frac { 1 }{ j \omega C} $$
如同直流電路一般，感電抗與容電抗亦適用串聯並聯公式，惟須注意感電抗與容電抗應使用複數的加減法