當常態分布搞上標準差

常態分佈（Normal distribution）又名高斯分佈（Gaussian distribution），是一個在數學、物理及工程等領域都非常重要的機率分佈，在統計學的許多方面有著重大的影響力。(維基)



常態分布(以下簡稱ND)在現實生活中是相當常見的東西(茶)。

機率統計(非常)簡介

總之我偶爾也來發一下文好了(擦汗

先提一下我們這次期末考的數學範圍的介紹。很刺激的，這次的範圍叫做近代數學呢(茶)，跟以往的數學相差很多的是因為這個部分更為抽象也更為具體。
怎麼說呢，先看到機率的意義：

四點共圓的行列式判別法

今天趁大夥遠在中興大學參訪中，趕緊上來post個文：四點共圓的行列式判別法。
四點、、、共圓的充要條件為


說明：設四點共圓的圓方程式為

則A、B、C、D皆滿足此方程式


讓、、作為係數，考慮未知數為、、、的方程組

必有解(, , , )=(0, 0, 0, 0)及(1, d, e, f)，所以上述方程組有無限多解
因此根據克拉瑪公式



同樣的方法亦可使用在空間中四點、、、共平面的充要條件為

至於四階行列式怎麼算呢？就要先降成三階再來算，請自行上網查詢。

空間之線段和最小值求法

A,B為二定點，P在直線上，若PA+PB有最小值，則P=?

很多人應該在補習班都會聽到老師講這個命題，

帥南也在班上有提出過這個問題，

((不過小弟我上數學課有點混所以不清楚後來結論是怎樣=口=

總之最近聽韋辰葛問到這個問題，
所以小弟我就在以下PO上個人淺見，

希望大家能提出其他的想法=)

我有直線L和兩定點A.B

根據一堆結論(好麻煩所以直接省略=口=(喂))，

我們知道我們要求出一個點A讓PA'=PA且B-P-A'這樣

而且這個A'點會在過A的圓周上。

先說一下那個圓，

那個圓的圓心在L上，

而且因為A是繞著L旋轉而產生那個圓，

所以事實上那個圓(和它所在的平面E)是垂直於直線L的。

小弟在這裡稱那個圓的圓心為M好了，

而從另一角度來考慮，

那個M可以看作是P在E上的投影點(垂足)。

再來啊，

因為我們已經作了一個投影，

所以也類似的以B對E作投影，

投影點為B'。

(這個步驟的話請不要在意為什麼要這樣做，解幾何的步驟就是沒什麼道理XD想有手感的就盡量學科囉(耶數學科熱烈招生(誤)))

然後延長B'M和那個圓相交，

那個交點就是我們要的A'，

這時候連接BA'，

交L於P，

於是就可以求得我們要的P。

該怎麼說明呢？

用反推回來想好了。

我們知道結果必然有：「B-P-A'」

這種情形。

實際上，

共線的三點投影在其他平面上也是會共線的。

而且我們知道A會繞著L畫一個圓(我可以畫一個圈，把诶簍關在裡面，把逼點擋在外面=口=)

所以當然是把P.B投影在A畫出來的圓所屬的平面E上。

大致上是這樣的概念。

至於說為什麼B.A'會和L相交，

因為PM和BB'是平行的，

也就是說它們是共平面的。

那麼平面上的線再怎麼延伸都還是在平面上，

所以BA'很自然的就會和L共平面，

而且必然不平行，

於是自然就交於一點P囉。

大概是這樣子。

四點共圓

前幾天帥氣中右葛問到說，

「如果我知道四個點的座標，有什麼方法可以判斷四點共圓？」

小弟我在這裡稍微題一下一些常用的四點共圓的特性。

1.多點共圓的基本定義

平面上有n個相異點A1~An，且有一點A0使得A0A1=A0A2=......=A0An， 即A1~An到A0的距離皆相同，則A1~An共圓，且圓心為A0。 基本的多點共圓的定義，在一般的歐氏幾何證明中常常運用的基本定義。
這個方法可以搭配解析幾何，利用很刺激的方式先炸出其中三點的外接圓式子再把其他點帶入計算......很刺激囉XD

2.利用圓的基本性質

像是大家應該都還記得的「圓內接四邊形對角互補」，「圓周角=PI/2」，這類的東西，這些東西在國中應該都有聽老師提過了，其實國中教的幾何 還真是超級重要啊XD

3.利用Ptolomy(托勒密)定理

對於任意的四邊形ABCD，有AB*CD+BC*DA ≧ AC*BD。 "="成立於ABCD四點共圓，此時即為常見的Ptolomy定理，可以利用長度的一個關係判斷四點共圓。

4.利用Simson(西摩松)定理

給定一個三角形ABC，以及三角形外一點P。若P對AB.BC.CA三邊的垂足三點共線，則ABCP四點共圓。

在知道AB.BC.CA三直線方程式和P點座標的時候應該還算可以用的東西。當然如果直線方程式係數不要太難看，可以解交點代Ptolomy是 不錯的選擇。

Simson的話可能就是考慮在知道投影點(垂足)的情況下用用看囉XD 這個算是比較冷門的定理了這樣。((倒是有用這個定理把學科的幾何題目秒殺過就是，97年第6區數學科第一試第一題XD))

證明四點共圓的方法有很多，後面兩項利用定理的方法只是方便一點而已。

真正重要的是利用基本的定義、性質去解讀題目給的東西。

雖然現在在學解析幾何，不過基本的定值還是要記得XD

解析幾何只是工具幫助分析而已。

[Math]數學介紹文 - 空間幾何基本概念

在進入正題之前有些事情想要先跟各位看關提及，
什麼叫做幾何呢？
其實我是上了劉輝老師的課才在想這個問題((笑))，

在平面幾何中，討論的是點與線的關係；
在空間幾何中，討論的是點線面的關係。
也就是說幾何是在討論點線面三者之間的關係的學問。
當然啦，
要把點改成喵，線改成汪，面改成嘓也是無所謂的((只是沒人那麼叫

重點是在這三個傢伙之間的關係總而言之啦這樣=w=




那麼就來進入主題吧。




重要基本公設：

不共線三點決定一平面


其實後面導出的很多決定平面的方法都是要依據這條公設的前提來提出的，
所以如果沒有背哪些情況可以決定一個平面的話，
直接判斷是不是有固定的不共線三點就可以了。

裡面提到了公設嘛，
所謂的公設就是那些不用證明的事情，
像是還有兩個點可以決定一直線之類的。
((詳細再看看有沒有心情來Po幾何原本的介紹文好了，
後來很多公設都衍生出其他的非歐幾何(Ex黎曼.羅夫丘巴斯基的球面幾何)，摁。))

關於這個公設的解釋，
什麼叫做不共線三點決定一平面呢？
我們想想看是不是有個傢伙叫三角形？
而且構成三角形的基本條件是三個不共線的點。
於是把三角形拉的很大很大就變成一個在空間中通稱的面啦=w=
((所謂空間中通稱的面就是代表著沒有邊際的面(亦可視邊界在無線遠處)，而三角形是被約束的面這樣


點跟線的關係應該大家都不陌生，
所以這裡就不提了。

至於空間中線跟面的關係主要有以下：
((討論到面都是在空間中才會討論的

(1)線在平面上





















(2)直線平行平面





















(3)直線交平面於一點























目前為止的三種關係應該算是比較直觀明瞭的((相信我，讀幾何需要有直覺XD))，
那麼接下來是比較麻煩的垂直。

(4)直線垂直平面

圖上有一個平面，兩條平面上的直線，以及一條垂直的直線。
那麼為什麼要有那兩條直線，
實際上我們要有一直線垂直平面的話，
那條直線必須要同時垂直平面上兩條直線才可以。
((詳細說明等到後面三垂線定理在做詳細解釋

另外就是在空間中特別出現的一種線與線的關係，

(Special)歪斜線

在之前應該已經知道了同一平面中兩直線的關係，

重合、平行、相交一點。

平面中的兩直線必然有上面這三種關係的其中一種((三一律嗎？噢，這麼說好像也有道理XD

但是到了空間中就多了歪斜這種關係，
歪斜指的是，
空間中不共面的兩直線。
這跟平行不太一樣，
雖然都是不相交，
但是在還是在最關鍵的地方有致命的差別：有沒有共平面。
所謂的平行是指同一平面中不相交的兩直線，
但是歪斜是空間中不共面的兩直線喔。

那麼既然把幾何的維度進化到三維，
角度的討論當然也要從二維中兩直線的交角推廣到兩平線的交角囉=w=
((讀數學的人真是不得好死呢，你們是這麼想的嗎= =

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面與面交角

用了三張圖來表示了面與面的交角，
課本說要找兩條分別為在兩平面上且垂直交線的直線，
如果換個角度想就是從可以把兩個平面當成兩條線的位置看的兩直線夾角，
就是從圖三的角度去看。

然後要找兩平面交角還是必須從定義去著手，
至於我的習慣讓兩平面上的兩條線在兩平面交線有共同垂足，
因為找角度就可以代餘弦啦~~這樣子。
((Ex圖一、二))

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以上就把基本觀念介紹的差不多了，
那麼接下來就介紹很重要的定理，

三垂線定理

先從基本的兩個位置來看這個三垂線定理的圖，
一般在說明三垂線定理的時候啊，
都是說A對平面E做垂線，交於B點，
然後B再對直線L做垂線，交於C點，
之後可以得到AC垂直L。

說明：

已知AB垂直平面E，BC垂直直線L，證明AC垂直L。
在L上取一點異於C的點D，
我們要證明的就是AD² = DC² + AC²
隨後再根據畢氏定理逆定理即可((就是把畢氏定理反推過來想

證明：
DB² = BC² + CD²
= (AC² - AB²) + CD²
=>DB² + AB² = AC² + CD²
=> AD² = AC² + CD² ((根據前面的基本介紹，因為AB垂直平面E，所以也垂直E上的任一條線，包括BD

所以AC垂直L

這是比較常見的三垂線定理，
事實上在這三段垂直中改變一下要證明的東西，
也是可以導出一樣的結果，
總而言之，
就是兩個垂直，則第三個也垂直。
有興趣的話就自行證明囉=)

那麼接下來換幾個角度來看這項定理。

上面這張圖主要強調的是AB垂直E的情形。

上面這張圖主要強調的是BC垂直於L的情形，
角度問題很抱歉@@

上面這張圖強調的就是AC垂直於L的情況。

特別把三條線段的垂情況提出來，
主要要強調的事情是投影這東西。

事實上把三垂線定理換個方式說明，
可以說成：
空間中平面E外一點A，
對E做一次投影，得其投影點B，
再用其投影點對直線L做二次投影C，
得到的二次投影點C和A直接對L做的投影點相同。

最後來利用三垂線定理解釋之前說為什麼直線垂直平面的條件是那條直線要同時垂之平面上兩直線。
看到AC線段和L線段，
AC垂直L，
但是能夠很直觀的發現AC不垂直平面E！
事實上過C點在E上畫其他直線都不會和AC垂直，
所以AC自然不會垂直E。

另外就是考慮說有一個平面F過C點垂直L、E
而AC只是這個平面F上的隨便一條線，
於是就不能保證AC垂直E囉這樣。

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應用軟體：Cabri 3D v2

[Math] TRML培訓活動 - 第二話 - 淺談函數最值 - 討論

所謂的函數最值就是說：
對於一個函數 f ( x )而言，帶入一定的 x 值可以得到此函數的最大值或最小值。
而把它的最大的或最小值稱作「最值」
而為了方便，以下把fmax、fmin稱為f ( x ) 的最大值、最小值。
接下來介紹一些常用的求出最值的方法：

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一、配方法
對於涉及到二次函數的最值問題，常用配方法求解。
關於配方法相信大家都有用來求過最值，
而在使用配方法求最值得時候大約有下面幾點需要注意的：
( 1 ) 文字(未知數)的範圍限制
( 2 ) 二次函數的漸增(漸減)情況(請愛用圖形判斷)
( 3 ) 最值不一定出現在拋物線頂點(請注意範圍)
大概是這三點。

二、判別式法
對於某些特殊形式的函數的最值問題，
如果經適當的代數變形，
使目標函數 y (即要求最值的函數)出現在一個有實根的一元二次方程中的係數之中，
這時利用此方程式的判別式不能為負，
從而透過解不等式：判別式≧0來求得 y 的最值。
在使用判別式法的時候，
得到的判別式一般為 y (要求最值的函數)二次式，
而這時候則是要判斷 y 的範圍 (因為已經限定了整個判別式的範圍)。
此時對於求出的 y 會產生最值，
但請注意到≧這個符號是表示「大於或等於」，並非要求兩者皆成立，
因此在求出 y 的範圍後，
如求得a ≦ y ≦ b後，
不能隨便斷定ymin = a ；ymax = b，
還必須求出與a，b對應的 x 值，並將其代入原本的函數進行驗算。
只有當x，y的對應值存在，而且滿足原來的函數式時，
才能確定為原來函數的最值，
否則就可能導致錯誤。

三、消去法
在一定條件等式 ( 例如 g(x , y) = 0 )下，
求多元函數 ( 例如f(x , y))的最值時，
較常用的辦法是利用條件式去消去一些自變量，
使問題轉化為求在給定區間上的一元函數的最值問題。
所以找出定義域是一件相當重要的事情。

四、三角函數法
如果目標函數經變形後能化成
y = Asin(theta) + B (A、B為常數)
的形式，
則由 sin x ≦1 ( cos x ≦1)可知其範圍(即可知其最值)。
重點是在於靈活運用三角函數的變形、代換。

五、換元法
通過適當的換元，
常可以把複雜的目標函數化為簡單的目標函數，
從而較容易求得最值。
主要的方法是利用三角函數的關係來作處理，

( 1 )利用三角代換消去特殊形式的式子。
例如 a2 - x2 ( a > 0 )，可令x = a sin(theta) (或x = a cos(theta))處理，
又如 x2 - a2 ，可令x = a sec(theta) (或x = a csc(theta))處理，
以及 x2 + a2，可令x = a tan(theta) (或x = a cot(theta))處理。

( 2 )在x2 + y2 ≦ r2 (r > 0)的條件下求f (x , y)的最值。
常用代換：x = k cos(theta)，y = k sin(theta)。( 0 ≦ k ≦ r )
在這個方法中需要熟記的事關於三角函數間的轉換、關係，
例如萬能公式啊，倍角、半角公式之類的，
當然這種方法可以視為是一種類比的感覺這樣。

[Math] TRML培訓活動 - 第一話 - 淺談複數與向量 - 討論

討論區:
 http://groups.google.com.tw/group/chsh20/browse_thread/thread/2d6c25b520be7e6c?hl=zh-TW#

那麼就先來作一下複數的介紹：

首先給定一個複數 z ，

它的實數部分(實部)寫作Re( z )；虛數部分(虛部)寫作Im( z )

一般在描述(假設一個複數的時候習慣記作：

z = a + bi ；其中 z 為複數，a、b為實數，且 Re( z ) = a 、Im( z ) = b，i 為虛數單位滿足i2 =
-1。

也許有人習慣用 x . y來表示複數，但在下在此皆用a . b來表示(因為自己在寫的時候比較順)

而這種表達法稱之為複數的“代數式”

在平面上建立直角座標系O x y，對於複數z = a + bi，

在這個坐標系上對應的點坐標為( a , b )；

反過來也是如此，

對於這個坐標系上一點( a , b)，

它代表的一個複數 z = a + bi。

這樣，就可以把所有的複數與在這個平面上的所有點一一對應。

根據這種與複數對應關係，

這個平面被稱之為複數平面(也稱作高斯平面)。

而這種方法可以清楚的表示出複數在平面上的位置。

且根據上面的定義，

x - 為實軸(由實數所構成的軸)；y - 為虛軸(由虛數所構成的軸)

原點O所對應的點為( 0 , 0)

如果z = a + bi，則複數zbar = a - bi 稱為z的“共軛複數”

再將此兩點標示在高斯平面上的話，

不難發現它們是關於實軸對稱的兩點。

又可由複數的乘法得到，

(z) * (zbar) = a2 + b2

關於點 z 到原點的距離我們用| z |來表示，

其值等於根號a2 + b2

稱| z |為z的“模”。顯然 z 和 zbar 有相同的模，即 | z | = | zbar |

再來看複數的加法，

給定兩個複數 z1 = a1 +b1i ； z2 = a2 + b2i

則他們的和定義為：z1 + z2 = ( a1 + a2 ) + ( b1 + b2 )i ，也是一個複數。

特別注意到將這三個複數標示在高斯平面上，

以Oz1 、 Oz2為鄰邊作平行四邊形出去的話，

z1 + z2的位置就是該平行四邊形從原點出發的那條對角線的終點。

由此可知，複數的加法滿足“平行四邊形法則”。

大家知道，物理學有多的量，而且它們的加法具有平行四邊形法則，

這些量既有大小，又有方向，所以被稱為“向量”。

複數也有大小，就是它的模(到原點的距離)，

也具有方向，就是從原點出發到表示該複數的點的指向，

複數的加法又適合平行四邊形法則。

因此，複數也就是平面向量。

另外，為了把複數的方向表示得更為清楚，

由實軸的正向向開始，沿著逆時針方向轉動，

到達向量Oz時所掃果的角度用theta來記，

則theta就代表著複數 z 的方向，稱為複數 z 的“幅角”，記為arg(z)= theta，

且特別當0 ≦ theta ＜ 2pi 時，稱theta為z的“主幅角”，記為Arg(z)=theta，

只有對複數O無法定義幅角。

而關於點 z 的 x 坐標a及 y 坐標b而言，

可視點 z 對 x 軸的投影點為 x 坐標；對 y 軸的投影點為 y 坐標。(畫個圖能比較好理解)

即a = | z | cos( theta ) ； b = | z | sin( theta )

所以可得到z = a + b i = | z | cos( theta ) + i | z | sin( theta ) = | z |
( cos(theta) + i sin(theta))

這種表示法稱為複數的“三角式”，也稱為“極式”

另外對於z的坐標在這裡可以有另一種表示法：z = ( | z | , theta )

其中theta必須為Arg(z)，這種表示複數坐標的方法稱為“極坐標”

還有一種方法是利用指數來表示的“指數式”

但高中的課程並未特別著墨於此，(還有就是我也沒有特別讀(炸))

所以在此就不介紹了。

再來就介紹一下常用的複數性質：

(1)有兩個複數z1、z2，若滿足z1 = z2，則Re( z1 ) = Re( z2 )；Im( z1 ) = Im( z2 )

也就是常說的「實部等於實部，虛部等於虛部」

這個性質看起來很直觀，但它的實用性非常高，是重要的。

(2)有兩個複數z1、z2，那麼z2 - z1就代表了向量z1z2。可得知z1，z2之間的距離等於複數z2 - z1的模，即|z2 -
z1|，當然也等於|z1 - z2|

這個性質代表的意義就是複數間的兩點距離，

要確切求出距離的話還是根據定義，將z2 - z1的模求出來。

(3)滿足| z | = 1的複數到原點的距離為1，因此它的分佈在以原點為中心、半徑為1的圓周上，這個圓稱為“單位圓”。

單位圓的方程用複數表達是(z)*(zbar) = 1 ，或者是 | z | = 1

而一般地，以複數z0為中心、半徑為 r 的圓的方程可以寫為|z - z0| = r ，其中複數 z 表示圓周上變動的點(動點)

關於圓的方程表示，在高中課程中想必大家都會用 z = cos(theta) + i sin(theta)來作表示，

而對於這種表示法還可以做許多延伸，這部分的話則在往後的文章再作介紹。

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再來介紹一下棣美弗(Abraham de Moivre)定理，

這主要是關於複數與三角結合的定理：

給定兩個複數z1 = r1(cos A + i sin A)、z2 = r2(cos B + i sin B)，其中r1、r2為|z1|和|
z2|，A、B為主幅角。

則滿足(z1)*(z2) = r1*r2 (cos (A+B) + i sin (A+B))

特別另r2 = 1時

可將其幾何意義看作：

將z1延逆時鐘方向旋轉角B，且不改變其長度。

證明：自行展開，利用和角公式化簡。

它的應用方面在這裡就只談旋轉這個部分，

大部分常用的應用在課本上都有提到了這樣。

關於旋轉的部分，

首先給定兩個複數z1 = a1 + b1i 、 z2 = a2 + b2i

如果我想要做到「以點 z2 為旋轉點，將z1逆時鐘旋轉120度得到z」該怎麼辦呢？

(提醒：可以畫圖就畫圖，不能畫圖，還是要畫圖)

這個題目將圖畫出來是重要的，

step 1 ：在坐標上取兩個點(a1 , b1)、(a2 , b2)代表點 z1和點 z2

step 2 ：因為是以點 z2 為旋轉點，於是計算z1 - z2 = (a1 - a2) + (b1 - b2)i

step 3 ：為了逆時鐘旋轉120度，故將複數(a1 - a2) + (b1 - b2)i乘上複數 1 (cos(120度) + i
sin(120度)) 後再加上z2極為所求的複數z

步驟中有兩個步驟是重要的(就是藍色部分)

在旋轉的過程中，是必須要使起點回歸原點O(0 , 0)的，

於是將z1 - z2 可以得到一個以z2為起點的向量z2z1，

可利用向量平移的方式將它的起點移到原點而不改變其向量，

再利用乘上一個模為 1 的的複數使其旋轉可得到另一個向量，

而所求的點只要將這個旋轉後的向量加上旋轉點 z2 就可以得到。

如果對向量平移不熟悉的話可以用另一種方式思考，

就是坐標系的改變。

在z1 - z2的這個過程中，

可以看作是「以z2作為新坐標系的原點」

於是z1在新坐標系的位置即是在z1 - z2的位置

那麼再乘上一個極坐標為(1 , 120度)的複數使其旋轉到另一個點 z'，

這個點 z' 是在新坐標系中的點 z，

為了求出點z的坐標必須回歸到原本的坐標系，

所以再加上z2即可以回歸到原本的坐標系。

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那麼第一篇文章的介紹就到這個段落做個小結論：

文章初有提到一件事情「因此，複數也就是平面向量。」

這個性質告訴我們一件事情：

「有些向量的問題用複數是可解的」