四點共圓

前幾天帥氣中右葛問到說，

「如果我知道四個點的座標，有什麼方法可以判斷四點共圓？」

小弟我在這裡稍微題一下一些常用的四點共圓的特性。

1.多點共圓的基本定義

平面上有n個相異點A1~An，且有一點A0使得A0A1=A0A2=......=A0An， 即A1~An到A0的距離皆相同，則A1~An共圓，且圓心為A0。 基本的多點共圓的定義，在一般的歐氏幾何證明中常常運用的基本定義。
這個方法可以搭配解析幾何，利用很刺激的方式先炸出其中三點的外接圓式子再把其他點帶入計算......很刺激囉XD

2.利用圓的基本性質

像是大家應該都還記得的「圓內接四邊形對角互補」，「圓周角=PI/2」，這類的東西，這些東西在國中應該都有聽老師提過了，其實國中教的幾何 還真是超級重要啊XD

3.利用Ptolomy(托勒密)定理

對於任意的四邊形ABCD，有AB*CD+BC*DA ≧ AC*BD。 "="成立於ABCD四點共圓，此時即為常見的Ptolomy定理，可以利用長度的一個關係判斷四點共圓。

4.利用Simson(西摩松)定理

給定一個三角形ABC，以及三角形外一點P。若P對AB.BC.CA三邊的垂足三點共線，則ABCP四點共圓。

在知道AB.BC.CA三直線方程式和P點座標的時候應該還算可以用的東西。當然如果直線方程式係數不要太難看，可以解交點代Ptolomy是 不錯的選擇。

Simson的話可能就是考慮在知道投影點(垂足)的情況下用用看囉XD 這個算是比較冷門的定理了這樣。((倒是有用這個定理把學科的幾何題目秒殺過就是，97年第6區數學科第一試第一題XD))

證明四點共圓的方法有很多，後面兩項利用定理的方法只是方便一點而已。

真正重要的是利用基本的定義、性質去解讀題目給的東西。

雖然現在在學解析幾何，不過基本的定值還是要記得XD

解析幾何只是工具幫助分析而已。