空間之線段和最小值求法

A,B為二定點，P在直線上，若PA+PB有最小值，則P=?

很多人應該在補習班都會聽到老師講這個命題，

帥南也在班上有提出過這個問題，

((不過小弟我上數學課有點混所以不清楚後來結論是怎樣=口=

總之最近聽韋辰葛問到這個問題，
所以小弟我就在以下PO上個人淺見，

希望大家能提出其他的想法=)

我有直線L和兩定點A.B

根據一堆結論(好麻煩所以直接省略=口=(喂))，

我們知道我們要求出一個點A讓PA'=PA且B-P-A'這樣

而且這個A'點會在過A的圓周上。

先說一下那個圓，

那個圓的圓心在L上，

而且因為A是繞著L旋轉而產生那個圓，

所以事實上那個圓(和它所在的平面E)是垂直於直線L的。

小弟在這裡稱那個圓的圓心為M好了，

而從另一角度來考慮，

那個M可以看作是P在E上的投影點(垂足)。

再來啊，

因為我們已經作了一個投影，

所以也類似的以B對E作投影，

投影點為B'。

(這個步驟的話請不要在意為什麼要這樣做，解幾何的步驟就是沒什麼道理XD想有手感的就盡量學科囉(耶數學科熱烈招生(誤)))

然後延長B'M和那個圓相交，

那個交點就是我們要的A'，

這時候連接BA'，

交L於P，

於是就可以求得我們要的P。

該怎麼說明呢？

用反推回來想好了。

我們知道結果必然有：「B-P-A'」

這種情形。

實際上，

共線的三點投影在其他平面上也是會共線的。

而且我們知道A會繞著L畫一個圓(我可以畫一個圈，把诶簍關在裡面，把逼點擋在外面=口=)

所以當然是把P.B投影在A畫出來的圓所屬的平面E上。

大致上是這樣的概念。

至於說為什麼B.A'會和L相交，

因為PM和BB'是平行的，

也就是說它們是共平面的。

那麼平面上的線再怎麼延伸都還是在平面上，

所以BA'很自然的就會和L共平面，

而且必然不平行，

於是自然就交於一點P囉。

大概是這樣子。