[Math] TRML培訓活動 - 第二話 - 淺談函數最值 - 討論

所謂的函數最值就是說：
對於一個函數 f ( x )而言，帶入一定的 x 值可以得到此函數的最大值或最小值。
而把它的最大的或最小值稱作「最值」
而為了方便，以下把fmax、fmin稱為f ( x ) 的最大值、最小值。
接下來介紹一些常用的求出最值的方法：

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一、配方法
對於涉及到二次函數的最值問題，常用配方法求解。
關於配方法相信大家都有用來求過最值，
而在使用配方法求最值得時候大約有下面幾點需要注意的：
( 1 ) 文字(未知數)的範圍限制
( 2 ) 二次函數的漸增(漸減)情況(請愛用圖形判斷)
( 3 ) 最值不一定出現在拋物線頂點(請注意範圍)
大概是這三點。

二、判別式法
對於某些特殊形式的函數的最值問題，
如果經適當的代數變形，
使目標函數 y (即要求最值的函數)出現在一個有實根的一元二次方程中的係數之中，
這時利用此方程式的判別式不能為負，
從而透過解不等式：判別式≧0來求得 y 的最值。
在使用判別式法的時候，
得到的判別式一般為 y (要求最值的函數)二次式，
而這時候則是要判斷 y 的範圍 (因為已經限定了整個判別式的範圍)。
此時對於求出的 y 會產生最值，
但請注意到≧這個符號是表示「大於或等於」，並非要求兩者皆成立，
因此在求出 y 的範圍後，
如求得a ≦ y ≦ b後，
不能隨便斷定ymin = a ；ymax = b，
還必須求出與a，b對應的 x 值，並將其代入原本的函數進行驗算。
只有當x，y的對應值存在，而且滿足原來的函數式時，
才能確定為原來函數的最值，
否則就可能導致錯誤。

三、消去法
在一定條件等式 ( 例如 g(x , y) = 0 )下，
求多元函數 ( 例如f(x , y))的最值時，
較常用的辦法是利用條件式去消去一些自變量，
使問題轉化為求在給定區間上的一元函數的最值問題。
所以找出定義域是一件相當重要的事情。

四、三角函數法
如果目標函數經變形後能化成
y = Asin(theta) + B (A、B為常數)
的形式，
則由 sin x ≦1 ( cos x ≦1)可知其範圍(即可知其最值)。
重點是在於靈活運用三角函數的變形、代換。

五、換元法
通過適當的換元，
常可以把複雜的目標函數化為簡單的目標函數，
從而較容易求得最值。
主要的方法是利用三角函數的關係來作處理，

( 1 )利用三角代換消去特殊形式的式子。
例如 a2 - x2 ( a > 0 )，可令x = a sin(theta) (或x = a cos(theta))處理，
又如 x2 - a2 ，可令x = a sec(theta) (或x = a csc(theta))處理，
以及 x2 + a2，可令x = a tan(theta) (或x = a cot(theta))處理。

( 2 )在x2 + y2 ≦ r2 (r > 0)的條件下求f (x , y)的最值。
常用代換：x = k cos(theta)，y = k sin(theta)。( 0 ≦ k ≦ r )
在這個方法中需要熟記的事關於三角函數間的轉換、關係，
例如萬能公式啊，倍角、半角公式之類的，
當然這種方法可以視為是一種類比的感覺這樣。