當常態分布搞上標準差

常態分佈（Normal distribution）又名高斯分佈（Gaussian distribution），是一個在數學、物理及工程等領域都非常重要的機率分佈，在統計學的許多方面有著重大的影響力。(維基)



常態分布(以下簡稱ND)在現實生活中是相當常見的東西(茶)。

舉例來說，彰化高中每個人的身高作統計調查，繪成直線分布圖，會形成一個接近ND的情況。

但是在特殊的母群體下(比如說收入等等)，每個人的收入不盡相同。以上面那個圖來說明好了，收入的狀況當然不可能會這麼漂亮，事實上在左邊的地方會顯得狹窄，最右邊的地方會拉到很遠(想像最右邊有一個謝董拿著哀鳳在玩，就知道那條線會被拉多遠了)。那種右邊特別遠的分布情況稱為右偏曲線(扯遠了XD)。再打個比方，大家都知道現在正邁入可怕的M型社會(糟糕......大家都變成M就沒有S了啊=口=|||)，顯然跟ND相去甚遠，那怎麼又會說在現實生活中常見呢？

是的，為了解除大家這種憂慮，就先不管母群體的分布，單單考慮抽樣出來的樣本分布就可以了!

實際上，我們不可能對每件事一一調查它的母群體(那太恐怖了)，於是我們才建立了抽樣調查等系統。而我們在建立這些抽樣系統的目的，就是為了透過樣本，了解整個母群體!

好，我們現在來做個隨機抽樣調查(隨機是很重要的前提)，來調查賴O然對彰中人是不是正咩，以看出對賴O然的支持率。每次隨機抓1000個人出來作調查。假如GB同學調查出結果賴O然的支持率是68%，H翔的結果是62%，有鑒於速率，謝董派了1000個手下去作調查......一直作一直作，會得到好多個關於賴O然支持率的結果。把那些結果繪成直線分布圖就會發現，它會呈現一個ND的情況!

這個例子似乎沒辦法說明剛才收入分布的問題，但是用一樣的方式下去作調查，會因為取樣機率的影響，而讓整個結果的分布呈現一個ND的情況!

也就是說，在任意的情況下，對母群體作隨機抽樣調查，得出來的樣本統計分布會呈現一個ND的狀況。

當然，這個說明中涉及到了「機率」，所以就必須建立在大數量的情況下才成立。

(事實上如果借用機率密度和中央極限定理的概念的話會更好說明。)

這裡稍微提一下，中央極限定理中說明到了很重要的一點，在ND情況下的中央對稱軸會正好是這個樣本數據的平均數。

好，那麼重點來了，ND能給我們什麼幫助呢?答案是，目前只能幫助我們了解抽樣樣本的分布狀況。

我們該如何賦予這麼一張圖意義，就必須再引入「標準差」等離均值的概念。

一組數據的平均值及標準差常常同時作為參考的依據。從某種意義上說，如果用平均值來考量數值的中心的話，則標準差也就是對統計的分散度的一個"自然"的測度。因為由平均值所得的標準差要小於到其他任何一個點的標準差。(維基)

標準差的意義在於表達一個樣本數據字平均值分散開來的程度(也可以說是離散的程度)，很容易明白的是，標準差越大，數據就越分散。

好，那麼現在把常態分布和標準差結合的話(事實上在作數據分析與評估的時候，最一般的情況就是考慮最理想的情況)，我們可以由中央極限定理知道，最中間的地方就是這個數據的平均數，那麼我們從平均數往外擴大1個標準差，2個標準差，3個標準差，會得到68%.95%.99.7%這三個比例。

這三個比例有很多很重要的含意。

(1) 若其假設正確，則約 68% 數值分佈在距離平均值有 1 個標準差之內的範圍，約 95% 數值分佈在距離平均值有 2 個標準差之內的範圍，以及約 99.7% 數值分佈在距離平均值有 3 個標準差之內的範圍。

(2) 在該範圍中，曲線下方的面積佔整體面積的68%.95%.99.7%

(3) 很奇怪的幾何解釋：從幾何學的角度出發，標準差可以理解為一個從 n 維空間的一個點到一條直線的距離的函數。舉一個簡單的例子，一組數據中有3個值，X₁,X₂,X₃。它們可以在3維空間中確定一個點 P = (X₁,X₂,X₃)。想像一條通過原點的直線 。如果這組數據中的3個值都相等，則點 P 就是直線 L 上的一個點，P 到 L 的距離為0, 所以標準差也為0。若這3個值不都相等，過點 P 作垂線 PR 垂直於 L，PR 交 L 於點 R，則 R 的坐標為這3個值的平均數(維基)

而用在實際評估上就必須在牽扯到信賴區間和信心水準的問題，但是有鑒於現在11點多了(愛睏啊)，就先到這邊吧(哈欠)