[Physics]電磁學筆記-直流電路

前言：
最近在讀電磁學的相關內容，就順便把做的筆記打在這裡，有需要的加減參考

正文：

KIRCHHOFF’S RULES

1.電路上進入任意節點的電流等於其離開的電流(電荷守恆的一種形式)
$$\sum { I_{ in } } =\sum { I_{out} } $$
2.在任意封閉回路上各段電位變化之合必等於零(能量守恆的一種形式)
$$\sum _{ closed\quad loop } \Delta { V }=0$$

RC CIRCUITS

顧名思義，只包含電阻resistor及電容capacitor的電路
由KIRCHHOFF’S RULES，可得
$$\varepsilon -\frac { q }{ C } -IR=0$$
其中$\frac { q }{ C }$是電容兩端的電位差，$IR$是電阻兩端的電位差

迴路接通之時($t=0$)，電容尚未充電，故有電流最大值：
$$I_{ 0 }=\frac { \varepsilon  }{ R } $$
接著電流便會流經電阻幫電容充電，直到充電完成不再有電流，此時電容的電荷將達到最大值：
$$Q=C \varepsilon $$

而進一步分析，可由前述之克西荷夫定律推導。由於電流等於電容中電荷的時變率，即$I=\frac { dq }{ dt } $
$$\frac { dq }{ dt } =\frac { \varepsilon  }{ R } -\frac { q }{ RC } $$
整理可得
$$\frac { dq }{ q-C\varepsilon  } =-\frac { 1 }{ RC } dt$$
由初始條件$q=0, t=0$，且$R$、$C$、$\varepsilon$為常數，積分得
$$\int _{ 0 }^{ q }{ \frac { dq }{ q-C\varepsilon  }  } =-\frac { 1 }{ RC } \int _{ 0 }^{ t } dt$$
$$\ln { \frac { q-C\varepsilon  }{ -C\varepsilon  }  } =-\frac { t }{ RC } $$
由上可得
$$q(t)=C\varepsilon (1-e^{ -\frac { t }{ RC }  })=Q(1-e^{ -\frac { t }{ RC }  })$$
又$I=\frac { dq }{ dt } $
$$I(t)=\frac { \varepsilon  }{ R } e^{ -\frac { t }{ RC }  }=I_{ 0 }e^{ -\frac { t }{ RC }  }$$

由上二式可得知，充飽所需的時間$t\rightarrow \infty $，而式中的$RC$則稱為時間常數$\tau $(因次為時間)