[Physics]分子動力論及熱力學定律

許久沒發文，在此就小小的發一篇關於熱力學的文。如果有寫得不好的地方，歡迎將意見寫下來，大家一起討論。

理想氣體方程式

在開始談分子動力論前，我們先對理想氣體先做一些了解。
理想氣體(ideal gas)，顧名思義是一種假想的氣體，一種理想的狀態。它主要有以下幾個特點：

分子本身不佔有體積

分子間不具有作用力

分子與容器壁的碰撞為完全彈性碰撞(這點很重要，它是分子動力論公式推導的基礎) 雖然說，現實上並不存在這樣好康理想的氣體，但是研究理想氣體依舊是有用的。因為真實的氣體在高溫以及低壓的情況下，其性質會接近理想氣體，在所有氣體中，最接近理想氣體的氣體為氦氣(He)
理想氣體方程式是描述理想氣體處於平衡態時，壓強、體積等等的狀態方程式。$$PV=nRT=NkT$$
$P$為系統的壓力(Pa)，$V$為系統的體積(m³)，$T$為絕對溫度(K)
$n$是理想的氣體莫爾數，$R$為理想氣體常數(J·K⁻¹·mol⁻¹)
$N$是理想的氣體的分子數，$k$為波茲漫常數數(J·K⁻¹·mol⁻¹)
R = 8.314472(15) J·K⁻¹·mol⁻¹，而k則等於R和亞佛加爵數乘積。
這個方程式是建立在兩個經驗定律上：波以爾定律、查理-給呂薩克定律(有興趣的可以去維基看看)

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分子動力論

現在我們假想，有一個邊長為$l$的正方形容器，裡面有一顆顆質量為$m$的氣體分子(先假設為單原子氣體，這樣就先不需考慮分子的轉動)。
現在讓我們想像一下，其中一顆分子以速度$v$，沿X方向與器壁進行完全彈性碰撞，則它的動量變化為：$$\Delta p=mv_x-(-mv_x)=2mv_x$$
其中$v_x$為該氣體分子速度在X方向的分量。而這顆氣體分子在下次碰撞同一面器壁所需的時間$\Delta t$，便是該氣體分子往返容器兩端所需的時間：$$\Delta t=\frac{2l}{v_x}$$
所以，這顆氣體對器壁所施的平均力$f_x$：$$F_x= \frac{\Delta p}{\Delta t}= \frac{2mv}{\frac{2l}{v_x}}= \frac{mv_x^2}{l}$$
N顆分子所形成的總力便為$$F_x = \frac{mv^2_{x1}+mv^2_{x2}+mv^2_{x3}+……mv^2_{xn}}{l}= \frac{m \Sigma v^2_x}{l} =\frac{Nm \bar{ v^2_x}}{l}$$
大量的氣體分子的熱運動，可以視為無規則的運動，X, Y, Z這三個方向的情形應會相同。$$\bar{ v^2}=\bar{ v^2_x}+\bar{ v^2_y}+\bar{ v^2_z}$$ $$\bar{ v^2_x}=\bar{ v^2_y}=\bar{ v^2_z}, \bar{ v^2}= \frac{1}{3}\bar{ v^2_x}$$
(這裡亦可用能量均分定理來看。所謂的能量均分定理，講的就是熱運動中分子的能量會被平均分配到各種形式的運動中，而在單原子理想氣體中則有3個自由度，分別是XYZ三個方向的平移運動)
到這裡我們便可以導出器壁面所受的壓力$$P= \frac{F}{A} =\frac{ m n \bar{ v^2_x}}{l} =\frac{ m n \bar{ v^2}}{3l}$$
別忘了$V=l^3$，我們可以得到$$PV=\frac{Nmv^2_{rms}}{3}$$
$v^2_{rms}$就是我們所謂的方均根速度(顧名思義平方後平均在開根號)

小結

結合理想氣體方程式，我們可以得到幾個式子：

單一分子的動能$$E_k =\frac{3}{2}kT$$

系統內能$$U=\frac{3}{2}NkT=\frac{3}{2}nRT$$

補充

在這裡，由於是單原子氣體，所以至多只有3個自由度(描述其運動需要多少個座標)。這便是3/2的由來。在雙原子亦或多原子氣體分子中，尚須考慮轉動及震動。
舉例來說，雙原子分子不考慮震動的情況下，有5個自由度，3/2在這裡要改為5/2。

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熱力學第零定律

接下來終於可以進入有趣的熱力學部份了，首先我們來講講"後來才出現的"熱力學第零定律。
如上圖，在這個封閉系統中，有三個物體A、B、C。其中，只有AB及AC可以熱交換。
熱力學第零定律說的則是，當AB以及AC間皆處於熱平衡狀態時，BC間亦會達到熱平衡。簡而言之，當整個系統達到最後的熱平衡時，ABC三者的溫度會相等。
熱力學第零定律，是一個經驗定律，並非推倒出來的物理定律。也由於它太基本了，一直直到1930年才由英國的一名物理學家R.H.Fowler正式提出，遠比第一、第二定律晚了80年。但是，正因為它的基礎，才叫做熱力學第零定律。

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熱力學第一定律

物理學科的各位，應該最近都有聽維銘哥上道這部分ㄅ
但不知道各位聊解得如，事實上這一塊隊只讀課內的人士幾乎全新的東西，在此小弟補充一些，幾個定律的證明。

熱力系統與熱力過程

在這裡必須先提一下一些重要的東西。
我們對於一個熱力學系統，可以用一些變數來描述，像是壓力$P$、體積$V$、溫度$T$、內能$U$等等，這些我們就稱之為狀態變數
當系統處於熱力平衡(熱平衡+力平衡+化學平衡)時，個狀態變數之間的關係，則稱之為狀態方程式(理想氣體方程式就是一個大家所熟知的例子)。
任何使熱力系統狀態產生改變的過程，皆稱之為熱力過程。其中特別值得注意的是，如果系統狀態改變得很慢很慢，使系統在每一個時刻都很接近熱力平衡，那麼我們就說系統處在準靜態，而此熱力過程就稱為準靜過程。在這種過程中，因為很接近熱力平衡，因此我們依舊可以利用狀態變數來描述這個系統。

第一定律

熱力學第一定律是能量守恆擴展的一種形式，其微分的形式為：$$dU=dQ-dW$$

	>0	<0
$dU$內能變化	系統內能增加	系統內能減少
$dQ$熱量變化	熱量流入系統	熱量流出系統
$dW$作功	系統對外界做正功	系統對外界做負功

P.S.系統對外界做負功相當於外界對系統做正功，反之亦然。

熱力學第一定律，結合理想氣底方程式，再配合其他條件，所得出的結果，將在底下一一討論。

值得注意的是，在理想氣體方程式中作功可以這樣表示$$dW=PdV$$

定容過程

$V$is a constant.(體積不變)
$$dU=dQ-dW$$
$$W=\int P dV=0$$
因為V是一個定值，所以積分出來的結果為0(不信的話，你可以畫出PV圖)

(待續)