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那麼就先來作一下複數的介紹：
首先給定一個複數 z ，
它的實數部分(實部)寫作Re( z )；虛數部分(虛部)寫作Im( z )
一般在描述(假設一個複數的時候習慣記作：
z = a + bi ；其中 z 為複數，a、b為實數，且 Re( z ) = a 、Im( z ) = b，i 為虛數單位滿足i2 =
-1。
也許有人習慣用 x . y來表示複數，但在下在此皆用a . b來表示(因為自己在寫的時候比較順)
而這種表達法稱之為複數的“代數式”
在平面上建立直角座標系O x y，對於複數z = a + bi，
在這個坐標系上對應的點坐標為( a , b )；
反過來也是如此，
對於這個坐標系上一點( a , b)，
它代表的一個複數 z = a + bi。
這樣，就可以把所有的複數與在這個平面上的所有點一一對應。
根據這種與複數對應關係，
這個平面被稱之為複數平面(也稱作高斯平面)。
而這種方法可以清楚的表示出複數在平面上的位置。
且根據上面的定義，
x - 為實軸(由實數所構成的軸)；y - 為虛軸(由虛數所構成的軸)
原點O所對應的點為( 0 , 0)
如果z = a + bi，則複數zbar = a - bi 稱為z的“共軛複數”
再將此兩點標示在高斯平面上的話，
不難發現它們是關於實軸對稱的兩點。
又可由複數的乘法得到，
(z) * (zbar) = a2 + b2
關於點 z 到原點的距離我們用| z |來表示，
其值等於根號a2 + b2
稱| z |為z的“模”。顯然 z 和 zbar 有相同的模，即 | z | = | zbar |
再來看複數的加法，
給定兩個複數 z1 = a1 +b1i ； z2 = a2 + b2i
則他們的和定義為：z1 + z2 = ( a1 + a2 ) + ( b1 + b2 )i ，也是一個複數。
特別注意到將這三個複數標示在高斯平面上，
以Oz1 、 Oz2為鄰邊作平行四邊形出去的話，
z1 + z2的位置就是該平行四邊形從原點出發的那條對角線的終點。
由此可知，複數的加法滿足“平行四邊形法則”。
大家知道，物理學有多的量，而且它們的加法具有平行四邊形法則，
這些量既有大小，又有方向，所以被稱為“向量”。
複數也有大小，就是它的模(到原點的距離)，
也具有方向，就是從原點出發到表示該複數的點的指向，
複數的加法又適合平行四邊形法則。
因此，複數也就是平面向量。
另外，為了把複數的方向表示得更為清楚，
由實軸的正向向開始，沿著逆時針方向轉動，
到達向量Oz時所掃果的角度用theta來記，
則theta就代表著複數 z 的方向，稱為複數 z 的“幅角”，記為arg(z)= theta，
且特別當0 ≦ theta ＜ 2pi 時，稱theta為z的“主幅角”，記為Arg(z)=theta，
只有對複數O無法定義幅角。
而關於點 z 的 x 坐標a及 y 坐標b而言，
可視點 z 對 x 軸的投影點為 x 坐標；對 y 軸的投影點為 y 坐標。(畫個圖能比較好理解)
即a = | z | cos( theta ) ； b = | z | sin( theta )
所以可得到z = a + b i = | z | cos( theta ) + i | z | sin( theta ) = | z |
( cos(theta) + i sin(theta))
這種表示法稱為複數的“三角式”，也稱為“極式”
另外對於z的坐標在這裡可以有另一種表示法：z = ( | z | , theta )
其中theta必須為Arg(z)，這種表示複數坐標的方法稱為“極坐標”
還有一種方法是利用指數來表示的“指數式”
但高中的課程並未特別著墨於此，(還有就是我也沒有特別讀(炸))
所以在此就不介紹了。
再來就介紹一下常用的複數性質：
(1)有兩個複數z1、z2，若滿足z1 = z2，則Re( z1 ) = Re( z2 )；Im( z1 ) = Im( z2 )
也就是常說的「實部等於實部，虛部等於虛部」
這個性質看起來很直觀，但它的實用性非常高，是重要的。
(2)有兩個複數z1、z2，那麼z2 - z1就代表了向量z1z2。可得知z1，z2之間的距離等於複數z2 - z1的模，即|z2 -
z1|，當然也等於|z1 - z2|
這個性質代表的意義就是複數間的兩點距離，
要確切求出距離的話還是根據定義，將z2 - z1的模求出來。
(3)滿足| z | = 1的複數到原點的距離為1，因此它的分佈在以原點為中心、半徑為1的圓周上，這個圓稱為“單位圓”。
單位圓的方程用複數表達是(z)*(zbar) = 1 ，或者是 | z | = 1
而一般地，以複數z0為中心、半徑為 r 的圓的方程可以寫為|z - z0| = r ，其中複數 z 表示圓周上變動的點(動點)
關於圓的方程表示，在高中課程中想必大家都會用 z = cos(theta) + i sin(theta)來作表示，
而對於這種表示法還可以做許多延伸，這部分的話則在往後的文章再作介紹。
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再來介紹一下棣美弗(Abraham de Moivre)定理，
這主要是關於複數與三角結合的定理：
給定兩個複數z1 = r1(cos A + i sin A)、z2 = r2(cos B + i sin B)，其中r1、r2為|z1|和|
z2|，A、B為主幅角。
則滿足(z1)*(z2) = r1*r2 (cos (A+B) + i sin (A+B))
特別另r2 = 1時
可將其幾何意義看作：
將z1延逆時鐘方向旋轉角B，且不改變其長度。
證明：自行展開，利用和角公式化簡。
它的應用方面在這裡就只談旋轉這個部分，
大部分常用的應用在課本上都有提到了這樣。
關於旋轉的部分，
首先給定兩個複數z1 = a1 + b1i 、 z2 = a2 + b2i
如果我想要做到「以點 z2 為旋轉點，將z1逆時鐘旋轉120度得到z」該怎麼辦呢？
(提醒：可以畫圖就畫圖，不能畫圖，還是要畫圖)
這個題目將圖畫出來是重要的，
step 1 ：在坐標上取兩個點(a1 , b1)、(a2 , b2)代表點 z1和點 z2
step 2 ：因為是以點 z2 為旋轉點，於是計算z1 - z2 = (a1 - a2) + (b1 - b2)i
step 3 ：為了逆時鐘旋轉120度，故將複數(a1 - a2) + (b1 - b2)i乘上複數 1 (cos(120度) + i
sin(120度)) 後再加上z2極為所求的複數z
步驟中有兩個步驟是重要的(就是藍色部分)
在旋轉的過程中，是必須要使起點回歸原點O(0 , 0)的，
於是將z1 - z2 可以得到一個以z2為起點的向量z2z1，
可利用向量平移的方式將它的起點移到原點而不改變其向量，
再利用乘上一個模為 1 的的複數使其旋轉可得到另一個向量，
而所求的點只要將這個旋轉後的向量加上旋轉點 z2 就可以得到。
如果對向量平移不熟悉的話可以用另一種方式思考，
就是坐標系的改變。
在z1 - z2的這個過程中，
可以看作是「以z2作為新坐標系的原點」
於是z1在新坐標系的位置即是在z1 - z2的位置
那麼再乘上一個極坐標為(1 , 120度)的複數使其旋轉到另一個點 z'，
這個點 z' 是在新坐標系中的點 z，
為了求出點z的坐標必須回歸到原本的坐標系，
所以再加上z2即可以回歸到原本的坐標系。
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那麼第一篇文章的介紹就到這個段落做個小結論：
文章初有提到一件事情「因此，複數也就是平面向量。」
這個性質告訴我們一件事情：
「有些向量的問題用複數是可解的」
