前言：
最近在讀電磁學的相關內容，就順便把做的筆記打在這裡，有需要的加減參考

正文：

KIRCHHOFF’S RULES

1.電路上進入任意節點的電流等於其離開的電流(電荷守恆的一種形式)

$\sum { I_{ in } } =\sum { I_{out} }$
2.在任意封閉回路上各段電位變化之合必等於零(能量守恆的一種形式)

$\sum _{ closed\quad loop } \Delta { V }=0$

RC CIRCUITS

顧名思義，只包含電阻resistor及電容capacitor的電路
由KIRCHHOFF’S RULES，可得

$\varepsilon -\frac { q }{ C } -IR=0$
其中

$\frac { q }{ C }$ 是電容兩端的電位差，

$IR$ 是電阻兩端的電位差

迴路接通之時(

$t=0$ )，電容尚未充電，故有電流最大值：

$I_{ 0 }=\frac { \varepsilon }{ R }$
接著電流便會流經電阻幫電容充電，直到充電完成不再有電流，此時電容的電荷將達到最大值：

$Q=C \varepsilon$

而進一步分析，可由前述之克西荷夫定律推導。由於電流等於電容中電荷的時變率，即

$I=\frac { dq }{ dt }$

$\frac { dq }{ dt } =\frac { \varepsilon }{ R } -\frac { q }{ RC }$
整理可得

$\frac { dq }{ q-C\varepsilon } =-\frac { 1 }{ RC } dt$
由初始條件

$q=0, t=0$ ，且

$R$ 、

$C$ 、

$\varepsilon$ 為常數，積分得

$\int _{ 0 }^{ q }{ \frac { dq }{ q-C\varepsilon } } =-\frac { 1 }{ RC } \int _{ 0 }^{ t } dt$

$\ln { \frac { q-C\varepsilon }{ -C\varepsilon } } =-\frac { t }{ RC }$
由上可得

$q(t)=C\varepsilon (1-e^{ -\frac { t }{ RC } })=Q(1-e^{ -\frac { t }{ RC } })$
又

$I=\frac { dq }{ dt }$

$I(t)=\frac { \varepsilon }{ R } e^{ -\frac { t }{ RC } }=I_{ 0 }e^{ -\frac { t }{ RC } }$

由上二式可得知，充飽所需的時間

$t\rightarrow \infty$ ，而式中的

$RC$ 則稱為時間常數

$\tau$ (因次為時間)