[Math]數學介紹文 - 空間幾何基本概念

在進入正題之前有些事情想要先跟各位看關提及，
什麼叫做幾何呢？
其實我是上了劉輝老師的課才在想這個問題((笑))，

在平面幾何中，討論的是點與線的關係；
在空間幾何中，討論的是點線面的關係。
也就是說幾何是在討論點線面三者之間的關係的學問。
當然啦，
要把點改成喵，線改成汪，面改成嘓也是無所謂的((只是沒人那麼叫

重點是在這三個傢伙之間的關係總而言之啦這樣=w=




那麼就來進入主題吧。




重要基本公設：

不共線三點決定一平面


其實後面導出的很多決定平面的方法都是要依據這條公設的前提來提出的，
所以如果沒有背哪些情況可以決定一個平面的話，
直接判斷是不是有固定的不共線三點就可以了。

裡面提到了公設嘛，
所謂的公設就是那些不用證明的事情，
像是還有兩個點可以決定一直線之類的。
((詳細再看看有沒有心情來Po幾何原本的介紹文好了，
後來很多公設都衍生出其他的非歐幾何(Ex黎曼.羅夫丘巴斯基的球面幾何)，摁。))

關於這個公設的解釋，
什麼叫做不共線三點決定一平面呢？
我們想想看是不是有個傢伙叫三角形？
而且構成三角形的基本條件是三個不共線的點。
於是把三角形拉的很大很大就變成一個在空間中通稱的面啦=w=
((所謂空間中通稱的面就是代表著沒有邊際的面(亦可視邊界在無線遠處)，而三角形是被約束的面這樣


點跟線的關係應該大家都不陌生，
所以這裡就不提了。

至於空間中線跟面的關係主要有以下：
((討論到面都是在空間中才會討論的

(1)線在平面上





















(2)直線平行平面





















(3)直線交平面於一點























目前為止的三種關係應該算是比較直觀明瞭的((相信我，讀幾何需要有直覺XD))，
那麼接下來是比較麻煩的垂直。

(4)直線垂直平面

圖上有一個平面，兩條平面上的直線，以及一條垂直的直線。
那麼為什麼要有那兩條直線，
實際上我們要有一直線垂直平面的話，
那條直線必須要同時垂直平面上兩條直線才可以。
((詳細說明等到後面三垂線定理在做詳細解釋

另外就是在空間中特別出現的一種線與線的關係，

(Special)歪斜線

在之前應該已經知道了同一平面中兩直線的關係，

重合、平行、相交一點。

平面中的兩直線必然有上面這三種關係的其中一種((三一律嗎？噢，這麼說好像也有道理XD

但是到了空間中就多了歪斜這種關係，
歪斜指的是，
空間中不共面的兩直線。
這跟平行不太一樣，
雖然都是不相交，
但是在還是在最關鍵的地方有致命的差別：有沒有共平面。
所謂的平行是指同一平面中不相交的兩直線，
但是歪斜是空間中不共面的兩直線喔。

那麼既然把幾何的維度進化到三維，
角度的討論當然也要從二維中兩直線的交角推廣到兩平線的交角囉=w=
((讀數學的人真是不得好死呢，你們是這麼想的嗎= =

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面與面交角

用了三張圖來表示了面與面的交角，
課本說要找兩條分別為在兩平面上且垂直交線的直線，
如果換個角度想就是從可以把兩個平面當成兩條線的位置看的兩直線夾角，
就是從圖三的角度去看。

然後要找兩平面交角還是必須從定義去著手，
至於我的習慣讓兩平面上的兩條線在兩平面交線有共同垂足，
因為找角度就可以代餘弦啦~~這樣子。
((Ex圖一、二))

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以上就把基本觀念介紹的差不多了，
那麼接下來就介紹很重要的定理，

三垂線定理

先從基本的兩個位置來看這個三垂線定理的圖，
一般在說明三垂線定理的時候啊，
都是說A對平面E做垂線，交於B點，
然後B再對直線L做垂線，交於C點，
之後可以得到AC垂直L。

說明：

已知AB垂直平面E，BC垂直直線L，證明AC垂直L。
在L上取一點異於C的點D，
我們要證明的就是AD² = DC² + AC²
隨後再根據畢氏定理逆定理即可((就是把畢氏定理反推過來想

證明：
DB² = BC² + CD²
= (AC² - AB²) + CD²
=>DB² + AB² = AC² + CD²
=> AD² = AC² + CD² ((根據前面的基本介紹，因為AB垂直平面E，所以也垂直E上的任一條線，包括BD

所以AC垂直L

這是比較常見的三垂線定理，
事實上在這三段垂直中改變一下要證明的東西，
也是可以導出一樣的結果，
總而言之，
就是兩個垂直，則第三個也垂直。
有興趣的話就自行證明囉=)

那麼接下來換幾個角度來看這項定理。

上面這張圖主要強調的是AB垂直E的情形。

上面這張圖主要強調的是BC垂直於L的情形，
角度問題很抱歉@@

上面這張圖強調的就是AC垂直於L的情況。

特別把三條線段的垂情況提出來，
主要要強調的事情是投影這東西。

事實上把三垂線定理換個方式說明，
可以說成：
空間中平面E外一點A，
對E做一次投影，得其投影點B，
再用其投影點對直線L做二次投影C，
得到的二次投影點C和A直接對L做的投影點相同。

最後來利用三垂線定理解釋之前說為什麼直線垂直平面的條件是那條直線要同時垂之平面上兩直線。
看到AC線段和L線段，
AC垂直L，
但是能夠很直觀的發現AC不垂直平面E！
事實上過C點在E上畫其他直線都不會和AC垂直，
所以AC自然不會垂直E。

另外就是考慮說有一個平面F過C點垂直L、E
而AC只是這個平面F上的隨便一條線，
於是就不能保證AC垂直E囉這樣。

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應用軟體：Cabri 3D v2

[Chemistry]段考---溶液

針對當量濃度做一些說明
當量濃度其實是度量氫離子粗濃度或電子釋放量的濃度單位
因為無法直接度量，所以採物質莫爾數乘以一分子解離氫離子(氫氧根離子)數或電子數
此為當量數的定義，當量數除以體積即為當量濃度

其他濃度單位看講義就可以了

[Chemistry]段考---氣體

三相圖與飽和蒸汽壓

標準三相圖如下所示(以此圖為例)phase:相
solid phase:固態
liquid phase:液態
vapour:蒸氣或氣態(gaseous phase)
gaseous phase:氣態或過熱蒸汽(superheated vapour)
supercritical fluid:超臨界流體(詳細資料我也不懂)
compressible liquid:可壓縮液體(資料少的可憐)
critical point:臨界點 triple point:三相點

線和點的意義表示相共存，由沸騰的定義得知沸騰時，蒸氣壓力=外壓，依此定義飽和蒸氣壓

所以"１atm時，水在100℃時沸騰"相當於"100℃時，水的飽和蒸汽壓為１atm"

飽和蒸汽壓有以下特性：

1.飽和蒸汽壓只與溫度相關，且T上升，則P上升

2.只要容器內存在液體，液面上蒸氣壓值必為該溫度飽和蒸汽壓

3.若蒸氣壓力超出該溫度飽和蒸汽壓，則多餘液體皆冷凝

由於飽和蒸汽壓具有恆定不變的特性，常會用在氣壓計讀取或排水集氣法修正等計算繁雜的題目，在花了這麼多時間寫考卷後，別忘記檢查蒸氣壓。

理想氣體方程式及其應用

理想氣體方程式分別由以下定律構成

1.PV=nRT=k→(波以耳定律)

2.V/T=nR/P=k→(查理定律)

3.V/n=RT/P=k→(亞佛加厥定律)

4.PM=DRT→(逸散、擴散常用)

5.其他

這類型會出的題目少數為單一系統中以三項已知量求一未知量的題型

如：在STP下，12克金屬M與足量鹽酸作用可產生11.2升的氫氣，問此金屬可能為?

解：在STP下，1mol氣體占22.4升的體積，推得氫氣莫爾數11.2/22.4=0.5(mol)

即一克當量M重12/(0.5*2)=12克(有關當量的概念請見"溶液")，再一一檢驗選項。

此題型因列式方便常會配合其他概念，

如:在STP下，定量Na投入36.5%鹽酸溶液1升(比重1.2)中產生56升氫氣，問加入後溶液組成為何?(濃度換算，限量試劑)

而為了簡短題目常會用STP(標準狀態，1atm、0℃)與NTP(普通狀態，1atm、25℃)，含有273*0.082=22.4及298*0.082=24.5等方便的式子，為了簡短計算就背下來吧。

而更常出現的題型為雙系統比例型，此題型的解法為著重在兩組物理量的比較，以求比例為主，由於比例式中可消去氣體常數，且至少有一至二項相同，利用P1V1/n1T1=P2V2/n2T2再消去相同項為主。

例一：兩個相連等體積燒瓶在27℃下置入0.70mol的氫氣，壓力0.5atm。今將一燒瓶置入127℃沸油中，另一維持原溫，則最後壓力為何?

解:反應前後總莫爾數，總體積相等，得反應前後

P/T=P'(１/T1+１/T2)*1/2(∵P'/T1=R*n1/(V/２)，P'/T1=R*n1/(V/２)→

P'(１/T1+１/T2)*1/2=R(n1+n2)/V=R*n/V)，代入數據得P'=0.57atm

省略氣體常數R可節省許多計算時間，能省則省!

理想氣體常數(R)的單位

R應該是氣體反應中最重要(麻煩)的常數，也因為數字本身非常複雜，造成計算上的困擾，不過出題時通常會刻意配合單位設計數字，找到相對應的單位可節省許多計算。

R=0.082atm*L/mol*K=8.314J/mol*K=62.3mmHg*L/mol*K

R值的變化大都與壓力單位相關，特此補述：

1atm=76cmHg=760mmHg=760torr=1033.6cm水柱=1013hPa

道爾頓分壓定律

從一個簡單的問題開始："混合氣體１atm，２L，問各氣體的體積與壓力"

答案是1.各氣體有相同的壓力。還是2.各氣體有相同的體積呢?

若從1.的角度思考，則各氣體有不同的體積，但這是不合理的，因為氣體傾向擴散。

所以應該是2.，也就是各氣體接佔有２L體積，這時因為分子數不同而造成各氣體壓力不同

，因為n=n1=n2=n3......，共乘RT/V後即得P=P1=P2=P3......，這就是道爾吞分壓定律。因為會應用到此定律的題目一定在同一容器中，所以計算異常簡單。有以下計算式

1.P=X1P1=X2P2=.......

2.P=V1%P1=V2%P2=......，其中V%為同壓下個別氣體體積與總體積比

逸散與擴散

特別針對逸散時間做個說明，r(速率)正比於f(碰撞頻率)正比於nv/6V

f的因次為n/t，所以t=n/f正比於6V/v即是體積比除與距離比(剩下講義應該寫的比我還清楚)

p.s另附解題順序

1.道爾吞分壓定律(計算混合氣體的題目時先將分壓分別求出可簡化題目)

2.理想氣體方程式or三相圖(依熟晰度而定)

3濃度or逸散&擴散(依熟晰度而定)

因為時間不夠而無法做的詳盡，特此提供以下網址做參考(高一、高三)，溶液從高一某章應該找的到

http://www.ccweb.com.tw/index.htm

[Chemistry]清華盃熱身專欄---游離能

游離能(第一游離能)是指M_(g)→M⁺_(g)+e^- 的△H

用能階的概念來說就是指「將基態原子之電子移至n=∞所需之能量」

因為電子與原子核間是以庫倫靜電力互相吸引，所以一切游離能的傾向皆能用靜電力公式來解釋——與電荷量呈正相關，與距離成反相關。

影響游離能的因素

1.有效核電荷(原子序)

一般來說，核電荷越大，任一電子所受到的靜電力皆會增大，造成游離能整體的提升

e.x.：等電子粒子如Na⁺>Ne>F^-

例外：Ar>K

那是因為K最外層的電子受到內層的遮蔽效應所致，所謂遮蔽效應是指外層電子因為距核較遠且受到相對內層電子向外的斥力，導致核對其的作用力遠小於內層電子與核之間的作用力，在同一層的電子之間則因為交互作用力為水平方向，所以不影響游離能(物理&數學：向量的垂直獨立性)

綜合遮蔽效應及核電荷可以得出原子的一個重要性質——有效核電荷

計算式為(原子序)－(內層電子數)=(有效核電荷) 或簡寫為Z*

e.x.:C(Z=6) Z*=6－2=4；Na(Z=11) Z*=11－10=1

根據定義可得

(1)同族原素有效核電荷接相等有效核電荷

(2)同週期元素有效核電荷由左向右依序遞增

有效核電荷越大，表示原子核對電子的吸引力越大，所以游離能也會越大

在後面發的文會利用有效核電荷說明同族元素的化學相似性(後話)

2.距核遠近

稍微懂點物理的人應該會覺得理所當然：電荷距離越遠，交互作用力當然會變小

不過這個超重要的概念在化學會以另一個形式表達——原子在週期表上的週期。

沒錯原子的週期數可以作為距核遠近的代表值

e.x.：Na(第三週期)>K(第四週期)>Cs(第六週期)

綜合以上兩點得出整個週期表的大趨勢：

由左至右，游離能上升；由上至下，游離能下降

p.s至於A族元素的例外(2A>3A,5A>6A)留待構築原理發表後再討論吧！